Виртуальное пособие для студенто

1.2. В данной задаче необходимо учесть, что под энергией стационарного состояния атома понимается сумма кинетической энергии вращения электрона вокруг ядра и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром:

При движении электрона по круговой орбите роль центростремительной силы играет кулоновская сила. Тогда имеем :

где - расстояние электрона от ядра или радиус боровской орбиты, - линейная скорость движения электрона, - масса электрона, - заряд ядра.

Преобразуем данную формулу:

, отсюда ,

Радиус первой боровской орбиты:

м, .

Тогда:

Дж=Эв

Эв, (Эв).

1.4. Для решения данной задачи необходимо использовать правило частот и выражение энергии для водородоподобных атомов:

Частота излучения при переходе электрона с орбиты на -ю равна:

а для >>1 имеем:

Линейная частота обращения:

т.к. период обращения равен: , где - скорость движения электрона по стационарной орбите.

Поскольку , , то ,

следовательно, n_изл =n_обр.

2. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА.

2.1. Первый способ решения:

1) По условию задачи электрон движется в атоме, значит м.

Согласно СНГ:

тогда неопределенность значения проекции импульса ,

следовательно,

, (м/с), ,

т.е. в данном случае понятие траектории электрона, движущегося в атоме, не имеет смысла. Говорить о движении частицы по траектории имеет смысл лишь в том случае, когда неопределенность в значении скорости , определенное СНГ, значительно меньше, чем значение самой скорости , т.е. .

Второй способ решения:

2) Волновые свойства будут проявляться в том случае, если длина волны де Бройля будет порядка области движения частицы. Так как электрон находится в атоме, то м. Мы можем рассчитать длину волны де Бройля электрона в атоме и сравнить ее с :

, (м), .

В данном случае размеры области движения частицы не велики по сравнению с ее де Бролевской волной, поэтому говорить о траектории электрона, движущегося в атоме, не имеет смысла.

2.5. Так как атомы водорода обладают волновыми свойствами, то при прохождении их через щель будет наблюдаться дифракционная картина. Вследствие дифракции частицы отклоняются от первоначального положения (см. рис.). Следовательно, появляется неопределенность в значении импульса вдоль оси ОХ. При этом ширина изображения :

где - ширина щели; - дополнительное уширение, связанное с неопределенностью импульса .

Условие ширины изображения:

Неопределенность импульса частицы , . Так как угол отклонения частицы от первоначального направления достаточно мал, то

где L – расстояние от щели до экрана. Таким образом, .

Из СНГ: , т.е. , следовательно, , тогда ширина изображения

Используя условие , получаем , отсюда .

2.7. В данной задаче необходимо учесть, что неопределенность в импульсе связана с неопределенностью в координате соотношением . В данном случае , где - межплоскостное расстояние

(м),

где - диаметр дифракционного кольца, - расстояние от фольги до экрана, - энергия, - масса электрона.

3. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ.

3.3. Состояние частицы, находящейся в основном состоянии () в прямоугольной потенциальной яме шириной описывается волновой функцией:

где - коэффициент нормировки.

Плотность вероятности нахождения частицы внутри ямы:

отсюда вероятность нахождения частицы в области будет:

Чтобы найти вероятность нахождения частицы в заданной области, необходимо сначала вычислить коэффициент нормировки . Для этого воспользуемся условием нормировки для частицы в яме ():

при расчете интеграла необходимо учесть, что .

Значит , .

Теперь найдем вероятность обнаружения частицы в заданной области :

3.4. В результате решения одномерного уравнения Шредингера, описывающего движение частицы в областях I и II, получены волновые функции. Нас интересует поведение частицы за барьером, а там состояние частицы соответствует волновой функции:

, где

Плотность вероятности нахождения частицы за барьером определяется квадратом модуля волновой функции:

по условию задачи

, иначе , (нм)

3.5. В данной задаче необходимо учесть, что соотношение коэффициентов отражения и прохождения можно выразить следующей формулой:

4.ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА

4.4. По условию задачи или , тогда:

4.6. Оператор комплексного сопряжения преобразует функцию F в комплексно сопряженную F ^*:

F=F ^*.

4.7. Уравнение на собственные функции оператора следующее:

Находим результат действия оператора на функцию :

Таким образом, получаем:

, следовательно А=1.

5. ОПЕРАТОРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН. ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ.

5.1. Оператор

5.4. Оператор Лапласа:

5.5. См. [10], стр. 197.

5.10. Оператор квадрата момента импульса в сферических координатах:

Собственные функции оператора :

6. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ.

6.1. Для свободно движущейся частицы потенциальная энергия U(x, y, z, t)=0. Полная энергия , а значит , т.е. полная

энергия свободнодвижущейся частицы интеграл движения.

Для выяснения будут ли интегралами движения операторы , , необходимо определить, чему равны коммутаторы операторов этих величин с оператором Гамильтона данной системы . Например:

Находим результат действия первого члена коммутатора на некоторую функцию f:

Затем аналогично для второго члена:

Поскольку , то , т.е. -

интеграл движения.

Для установления является ли оператор квадрата момента импульса интегралом движения, необходимо найти коммутатор и .

Задачу можно решать как в декартовых, так и в сферических координатах.

6.2. В данной задаче необходимо определить коммутируют ли операторы соответствующей величины с оператором .

6.3. Для решения задачи удобно использовать выражения для операторов , , в сферических координатах. Поскольку эти операторы явно от времени не зависят, то для сохранения , необходимо, чтобы и . А значит, следует