3. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ.

В классической механике движение частиц описываются с помощью уравнения Ньютона:

Наличие волновых свойств микрочастиц делает невозможным применимость уравнения Ньютона. Для описания движения микрочастиц, необходимо использовать уравнение, учитывающее не только корпускулярные, но и волновые свойства частиц. Таким является основное уравнение квантовой механики - уравнение Шредингера.

Уравнение Шредингера - это уравнение относительно волновой функции, физический смысл которой заключается в том, что квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени.

Временное уравнение Шредингера:

,

где Y=Y(x, y, z, t) - волновая функция, U(x, y, z, t) - потенциальная энергия частицы.

   - лапласиан Y.

Волновая функция Y удовлетворяет следующим условиям, всюду непрерывна и имеет непрерывные первые производные, однозначна и конечна во всем пространстве.

В случае одномерного движения частицы в потенциальном поле U(x) стационарное уравнение Шредингера записывается в виде:

,

где Е - полная энергия частицы, y = y(x) - координатная часть волновой функции.

Движение свободной микрочастицы

При движении свободной частицы (U(x)=0) ее полная энергия совпадает с кинетической. Для свободной частицы, движущейся вдоль оси х уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид:

 или ,

где  .

 Для свободной частицы волновая функция представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

Этому соответствует независящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства:

|Y|²=YY^*=|A|².

Для свободно движущейся частицы энергия определяется из формулы:

,

так как на  k  не накладываются ограничения, то энергия может принимать любые значения, т. е. энергетический спектр свободно движущейся частицы сплошной.

Движение микрочастицы в бесконечно глубокой

 потенциальной яме

При изучении одномерного движения микрочастицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, потенциальная энергия частицы имеет вид:

Решение стационарного уравнения Шредингера в этом случае дает следующую волновую функцию:

,

где a - ширина ямы, A - постоянная нормировки, получаемая из требования нормировки волновой функции:

В этом случае энергетический спектр микрочастицы является дискретным, энергия может быть найдена как:

,

где n=1, 2, …¥  - квантовое число, определяющее энергию частицы в яме.

Расстояние между соседними энергетическими уровнями:

,

т.е. с ростом n происходит относительное сближение энергетических уровней.

Плотность вероятности местонахождения частицы внутри ямы:

зависит от местонахождения частицы.

Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Туннельный эффект

Рассмотрим движение микрочастицы массы m с энергией E в пространстве, в котором силовое поле меняется следующим образом (см. рис.).

Потенциальная энергия частицы в области I (-¥<x<0) U(x)=0, в области II (0<x<¥) U(x)=const=U₀. Различие в U(x) при переходе из области I в область II создает потенциальный барьер высотой U₀.

Решаем задачу о движении микрочастицы через потенциальный барьер, используя уравнение Шредингера.

Решение уравнения Шредингера для области движения частицы до барьера (область I) будет:

,

где A₁ - амплитуда падающей на барьер волны, B₁ - амплитуда отраженной от барьера волны, .

Отношение: - представляет собой коэффициент отражения

микрочастицы от барьера.

Для области движения частицы за барьером (область II) необходимо рассматривать 2 случая:

1. E>U₀

Частица, подчиняющая законам классической механики, обязательно перейдет из области I область II. Микрочастица, для которой существенны волновые свойства, должна вести себя иначе. При прохождении микрочастицы через потенциальный барьер  меняется ее кинетическая энергия, а значит, меняется ее импульс и, следовательно, длина волны де Бройля и скорость частицы. При переходе из области I в область II микрочастица имеет определенную вероятность отразиться и определенную вероятность пройти дальше в область II.

Итак, при E>U₀ решение уравнения Шредингера примет вид:

,

где A₂ - амплитуда прошедшей волны, .

Коэффициент прозрачности барьера определяется так:

,

где l₁, l₂ - длины волн де Бройля в области I и II.

2. E<U₀

По законам классической механике переход из области I в область II невозможен.

Решение уравнения Шредингера в области II для движущейся вдоль оси х микрочастицы имеет вид:

,

где A₂ - амплитуда прошедшей волны.

Коэффициент отражения частицы от барьера:  т.е при E<U₀

 отражение является полным. Однако, вероятность обнаружения частицы в области II не равна нулю:

.

Наличие отличной от нуля вероятности найти частицу в области за барьером на некоторой глубине x делает возможным прохождение микрочастицы сквозь потенциальный барьер конечной ширины. Такое прохождение микрочастицы через потенциальный барьер получило название туннельного эффекта. Оно является специфическим лишь для квантовой механики и не имеет смысла в классической физике.

Коэффициент прохождения D потенциального барьера высотой U₀ и шириной a для микрочастицы массой m с энергией E может быть найден так:

.

4.ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА

Под оператором  будем понимать символ, показывающий, каким способом каждой из рассматриваемого класса функций U(X) сопоставляется другая функция V(X). Это записывается так:

V (X)=U(X),

где X - обобщенная координата.

Оператор  называется линейным, если выполняются следующие соотношения:

,

,

где c₁, c₂- любые комплексные числа, U₁, U₂ - две произвольные функции.

 Линейный оператор  называется самосопряженным или эрмитовским, если выполняется равенство:

,

где  - оператор комплексно сопряженный оператору .

Интегрирование производится по всей области независимых переменных, совокупность дифференциалов которых обозначена через dX.

Действия над операторами

Рассмотрим два линейных самосопряженных оператора  и .

Суммой операторов   и  является оператор , если . Если , то  - разность операторов.

Произведением оператора  на постоянное число c , т.е. оператор , есть оператор, который  умножает на c результат действия  на Y:

.

Алгебраические свойства суммы и разности операторов аналогичны свойствам суммы и разности чисел – операторы можно группировать, изменяя их порядок записи.

Под произведением операторов  и  будем понимать такой оператор , который, действуя на функцию Y, переводит ее в функцию, получаемую также путем последовательного применения операторов сомножителей:

.

Если , то операторы называются некоммутирующими, а если , то операторы называются коммутирующими.

Для некоммутирующих операторов  и  - коммутатор операторов  и .

Если операторы  и  являются эрмитовскими, то произведение операторов  также будет эрмитовским, если операторы  и  коммутируют, т.е. .

Уравнение:

  ,

является  уравнением на собственные функции оператора . Решение этого уравнения позволяет найти собственные функции оператора и спектр собственных значений. Собственные значения эрмитовских операторов являются действительными числами.

5. ОПЕРАТОРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН. ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ.

Постулаты квантовой механики:

·                  Каждой физической величине A (координате, импульсу, энергии, и т.д.) сопоставляется некоторый эрмитовский оператор , действующий в квадратично – интегрируемом пространстве L₂.

·         Физическая величина A в любом квантово-механическом состоянии может принимать только те значения, которые принадлежат спектру ее оператора .

·         Среднее значение физической величины A в состоянии, описываемом волновой функцией Y(X)=Y(x, y, z, t), вычисляется по формуле:

.

Операторы физических величин

Между операторами физических величин существуют такие же соотношения, какие имеют место между физическими величинами в классической физике.

Оператор координаты совпадает с самой координатой, т.е. в координатном представлении оператор координаты есть оператор умножения на независимую переменную, т.е.

,  .

Аналогично для координат  y и z.

Оператором импульса  в координатном представлении является оператор , где .

Операторы проекций импульса на оси координат:

,  ,  .

Оператор Гамильтона или гамильтониан связан с операторами импульсов и координат соотношением:

 ,

где , тогда  будет:

.

Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости двух физических величин является коммутация соответствующих операторов.

Операторы проекций момента импульса:

Для решения ряда задач  используется оператор проекции момента импульса  и  в сферических координатах:

,

где  - угловая часть оператора Лапласа.